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Teoria De La Medida

La teoría de la medida es una rama del análisis y de la geometría que investiga las medidas, las funciones medibles y la integración. Es de importancia central en geometría, probabilidad y en estadística. una medida de un conjunto es una forma sistemática y rigurosa de asignar un número a cada subconjunto apropiado de dicho conjunto. En este sentido, la medida es una generalización de los conceptos de "longitud","área", y "volumen". Dicha generalización se extiende tanto a mayores dimensiones (en el sentido de "hipervolúmenes") como a conceptos más abstractos, puesto que el conjunto sobre el que se aplica una medida no tiene por qué ser un subconjunto de un espacio geométrico


PREREQUISITOS

CÓDIGO NOMBRE
4100803 Introducción al Análisis Real
4100800 Integración y Series
4100801 Análisis Vectorial

CONTENIDO

  • 1. Integración abstracta
    • 1.1 Sigma álgebras
    • 1.2 Funciones medibles
    • 1.3 Medidas positivas.
    • 1.4 Integral de funciones positivas y de funciones complejas. Teoremas fundamentales de integración

  • 2. Medidas de Borel positivas.
    • 2.1 Teorema de representación de Riesz.
    • 2.2 Medida de Lebesgue.
    • 2.3 Teoremas de aproximación de funciones medibles.

  • 3. Espacios Lp.
    • 3.1 Funciones convexas y desigualdad de Jensen.
    • 3.2 Desigualdades de Hölder y Minkowsky.
    • 3.3 Espacios Lp y sus propiedades

  • 4. Medidas complejas.
    • 4.1 Medidas complejas, medidas absolutamente continuas y de medidas mutuamente singulares
    • 4.2 Teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym
    • 4.3 Funcionales acotados en Lp.
    • 4.4 Espacios reflexivos
    • 4.5 Espacios separables.

  • 5.Diferenciación.
    • 5.1 Diferenciación de medidas..
    • 5.2 Teorema de diferencicicón de Lebesgue.
    • 5.3 Funciones de variación acotada y funciones absolutamente continuas
    • 5.4. Teoremas fundamentales del cálculo

  • 6. Integración en espacios producto
    • 6.1 Sigma álgebras y medidas producto
    • 6.2 Teoremas de Fubini y Tonelli.
    • 6.3 Convolución.
    • 6.4 Descomposición espectral de operadores compactos autoadjuntos.

BIBLIOGRAFIA

  • BARTLE, R. – The Elementos of Integration, New York, J. Wiley, 1966.

  • ROYDEN, M. – Real Analysis. New York, The MacMillan, 1963.

  • RUDIN, W. – Real and Complex Analysis. New York, Mc-Graw Hill, 1966.