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Integración Y Series

Este curso esta dirigido al estudio teórico de la integración en un espacio euclidiano así como el estudio de las propiedades matemáticas de las sucesiones y series de funciones.

PREREQUISITOS

CÓDIGO NOMBRE
4100803 Introducción al Análisis Real

CONTENIDO

  • 1. Séries Númericas
    • 1.1 Revisión de limsup y liminf, ejemplos especiales, la paradoja de Zenón y las series convergentes, linealidad de las series convergentes y criterio de Cauchy.
    • 1.2 Expansiones decimales, tres tipos importantes de series (telescópicas, armónica y geométrica), criterio de comparación.
    • 1.3 Teorema de condensación de Cauchy, p-series y función zeta de Riemann, el número de Euler e (irracionalidad).
    • 1.4 Criterios de la raíz y de la razón, criterio de la integral.
    • 1.5 Convergencia absoluta, suma por partes, criterio de Dirichlet y de Leibniz, reordenamientos (conmutatividad).
    • 1.6 Teorema de Riemann, series dobles y convergencia
    • 1.7 Series dobles y la desigualdad de Carleman
    • 1.8 Radio de convergencia de una serie de potencias, producto de Cauchy para series (teorema de Mertens), la función exponencia.
    • 1.9 El espacio l2 y lp de sucesiones (completez)

  • 2. Integral de Riemann-Stieltjes
    • 2.1 Motivación (momento de inercia), sumas-integrales superior e inferior, propiedades, criterio de integrabilidad de Riemann.
    • 2.2 Algunas consecuencias de la condición de Riemann.
    • 2.3 Propiedades de linealidad y de comparación, integración de funciones compuestas (de productos y modulos).
    • 2.4 Integradores escalonados, perturbacion de la integral de Riemann- Stieltjes por cambio en un punto, reducción a una integral de Riemann.
    • 2.5 Teorema del cambio de variable, teoremas fundamentales del cálculo, integración por partes.
    • 2.6 Teorema del valor medio, fórmula de Taylor con resto integral y de Lagrange, desigualdad de Holder.
    • 2.7 Integraci ́on de funciones vectoriales, longitud de arco, la función logaritmo, integrales impropias
    • 2.8 Funciones trigonométricas, polinomios trigonométricos y series de Fourier (sistema ortogonal de funciones), L2-aproximación
    • 2.9 Desigualdad de Bessel, el núcleo de Dirichlet y un teorema de aproximación puntual.

  • 3. Sucesiones de Funciones
    • 3.1 Convergencia puntual, suma de una serie de funciones, ejemplos e inconvenientes.
    • 3.2 Convergencia uniforme y ejemplos, criterio de Cauchy, test M de Weierstrass.
    • 3.3 Convergencia uniforme y continuidad, teorema de Dini, completez del espacio Cb (funciones continuas y acotadas).
    • 3.4 Convergencia uniforme e integración, convergencia uniforme y diferenciación, series de potencias (convergencia uniforme, derivación e integración), la serie de Taylor.
    • 3.5 Función continua nunca diferenciable, acotamiento uniforme y equicontinuidad.
    • 3.6 Subsucesiones convergentes y teorema de Arzelá-Ascol.
    • 3.7 Aproximación por polinomios (teorema de Weierstrass), álgebra uniformemente cerrada de funciones
    • 3.8 Funciones que separan puntos, teorema de Stone.
    • 3.9 Series de Fourier e identidad de Parseval.


BIBLIOGRAFIA

  • Principios de análisis matemático, W. Rudin (Texto guía principal).

  • Análisis matemático, T. Apostol.

  • Introduction to classical real analysis, K. Stromberg.

  • Análisis clásico elemental, J. Marsden, M. Hoffman (Libro con muchos ejemplos)

  • Introducción al análisis matemático, S. Lang

  • Introduction to analysis, M. Rosenlicht