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Análisis Funcional

El análisis funcional como el estudio de los espacios vectoriales normados completos sobre los reales o los complejos. Tales espacios se llaman Espacios de Banach. Un ejemplo importante es el espacio de Hilbert, donde la norma surge de un producto escalar. Estos espacios son de importancia fundamental en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Más general y modernamente, el análisis funcional incluye el estudio de los espacios de Fréchet y otros espacios vectoriales localmente convexos y aún topológicos. Un objeto importante de estudio en análisis funcional son los operadores lineales continuos definidos en los espacios de Banach y de Hilbert. Estos conducen naturalmente a la definición de C* álgebra y otras álgebras de operadores.

PREREQUISITOS

CÓDIGO NOMBRE
4100803 Introducción al Análisis Real
4100800 Integración y Series
4100801 Análisis Vectorial

CONTENIDO

  • 1. Espacios normados.
    • 1.1 Espacios vectoriales de dimensión infinita
    • 1.2 Definición y propiedades de espacios normados y definición de espacios de Banach
    • 1.3 Operadores lineales y continuos
    • 1.4 Espacios normados de dimensión finita
    • 1.5 El espacio de los operadores lineales y continuos de un espacio normado en otro
    • 1.6 El espacio dual

  • 2. Teoremas de Hahn-Banach
    • 2.1 Forma analítica del Teorema de Hahn - Banach.
    • 2.2 Formas geométricas del Teorema de Hahn - Banach
    • 2.3 Separación de conjuntos convexos

  • 3. Principio de la Limitación Uniforme
    • 3.1 Lema de Baire y Teorema de Banach - Steinhaus.
    • 3.2 Teoremas de la función abierta y de la gráfica cerrada

  • 4. Topologías Débiles
    • 4.1 Definición y propiedades elementales de la topología débil
    • 4.2 Conjuntos convexos y operadores lineales en la topología débil
    • 4.3 La topología débil estrella y El Teorema de Banach-Alaouglu-Bourbaki
    • 4.4 Espacios reflexivos
    • 4.5 Espacios separables.

  • 5. Espacios Lp
    • 5.1 Reflxividad y separabilidad de los espacios Lp.
    • 5.2 Convolución y regularización.
    • 5.3 Criterio de compacidad fuerte en Lp.

  • 6. Espacios de Hilbert
    • 6.1 Definición y propiedades elementales.
    • 6.2 Proyección sobre un conjunto convexo cerrado.
    • 6.3 Dual de un espacio de Hilbert.
    • 6.4 Teoremas de Stampacchia y Lax - Milgram.
    • 6.5 Suma y Base hilbertiana.

  • 7. Teoría Espectral para Operadores Compactos
    • 6.1 Propiedades elementales de los operadores compactos.
    • 6.2 Teorema de Riesz - Fredholm
    • 6.3 Espectro de un operador compacto.
    • 6.4 Descomposición espectral de operadores compactos autoadjuntos.

BIBLIOGRAFIA

  • BREZIS, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science and Business Media, 2010.

  • FOLLAND, Gerald B. Functional Analysis. 2005.

  • Bachman G. and Narici L., Functional Analysis

  • KREYSZIG, Erwin. Introductory functional analysis with applications. New York: wiley, 1978.