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Variable Compleja

Esta asignatura consiste en una introducción a la teoría de funciones complejas de variable compleja, a un nivel de pregrado. Pretende proporcionar unos conocimientos básicos que posibiliten la posterior ampliación y profundización en el estudio del análisis complejo. Para seguirla con aprovechamiento se recomienda que el estudiante esté previamente familiarizado con la diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales y con la integral de línea de campos vectoriales. No obstante, deberá tener presente que, a pesar de esta evidente relación con la teoría de funciones reales de los cursos anteriores, la teoría de funciones de variable compleja difiere sustancialmente de aquella tanto en los conceptos como en los métodos. El curso comprende los principios fundamentales del análisis complejo, a saber: aritmética y geometría de los números complejos; topología del plano complejo; el plano complejo extendido; estudio de las funciones holomorfas, c omo parte fundamental de la teoría; funciones elementales; integración compleja; series numéricas, de Taylor y de Laurent; ceros de las funciones holomorfas; singularidades; y residuos. Se presentarán los teoremas principales y se resolverán ejercicios de aplicación

PREREQUISITOS

CÓDIGO NOMBRE
4100800 Integración y Series

CONTENIDO

  • 1. INTRODUCCIÓN
    • 1.1. El cuerpo de los números complejos.
    • 1.2. Representación polar y raíces de un número complejo.
    • 1.3. Topología de C.
    • 1.4. Convergencia uniforme.

  • 2. FUNCIONES ANALITICAS
    • 2.1. Convergencia absoluta.
    • 2.2. Serie de potencias.
    • 2.3. Serie de potencias.
    • 2.4. Funciones analíticas.
    • 2.5. Función exponencial.
    • 2.6. Funciones trigonométricas y rama de logaritmo.
    • 2.7. Ecuaciones de Cauchy - Riemann.
    • 2.8. Funciones Armónicas.
    • 2.9. Aplicaciones conformes.
    • 2.10. Transformadas de Möbius.
    • 2.11. Radio cruzado.
    • 2.12. Principio de simetría
    • 2.13. Principio de orientación.

  • 3. INTEGRACIÓN COMPLEJA
    • 3.1. Integral de riemann-Stieltjes, Fórmula integral de Cauchy para un disco.
    • 3.2. Representación en series de potencias de funciones analíticas.
    • 3.3. Teorema de Caucy para un disco.
    • 3.4. Ceros de una función analítica, Función entera, Teorema de Liouville.
    • 3.5. Teorema fundamental del álgebra, Principio de acumulación de ceros.
    • 3.6. Teorema del módulo máximo.
    • 3.7. El índice de una curva cerrada y Fórmula Integral de Caucy.
    • 3.8. Teorema de Morera, Teorema de la Aplicación Abierta y Teorema de Goursat.

  • 4. SINGULARIDADES
    • 4.1. Clasificación de las singularidades, Desarrollo en series de Laurent.
    • 4.2. Teorema de CAsorati.Weierstrass, Residos, Teorema del residuo, Función meromorfa.
    • 4.3. El principio del argumento, Teorema de Rouche.

  • 5. TEOREMA DEL MÓDULO MÁXIMO
    • 5.1. Teorema del módulo máximo (varias versiones).
    • 5.2. Lema de Schwarz.

BIBLIOGRAFIA

  • Conway J., Functions of one complex variable I, Springer.

  • Lang S., Complex Analysis, Springer.