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Teoria De Cuerpos

El problema central que motiva la teoría que se estudia en este curso es el problema de la solubilidad de ecuaciones polinómicas, es decir, el problema de determinar condiciones necesarias y suficientes para saber si una ecuación polinómica p(x) = 0, de grado n>0, y con coeficientes en un campo K, tiene raíces expresables por medio de radicales. Para ello es necesario desarrollar la teoría de campos, estudiar sus extensiones y sus automorfismos. Como aplicación de esta teoría se caracterizan aquellos números construibles con regla y compás y se demuestra la imposibilidad de los tres problemas griegos clásicos: la cuadratura del círculo, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. Además, se da una prueba del Teorema de Gauss que caracteriza los polígonos regulares construibles con regla y compás. Una vez se haya desarrollado la teoría de campos, se introduce la noción de grupo de Galois de una extensión finita, normal y separable y se estudia la correspondencia que existe entre extensiones y subgrupos del grupo de Galois, para llegar finalmente al teorema fundamental de la teoría de Galois. Como aplicación de dicho teorema, se caracterizan las ecuaciones polinómicas solubles por radicales, se dan fórmulas para la solución de las ecuaciones de grado 3 y 4 y se prueba la imposibilidad de encontrar una fórmula similar para las raíces de la ecuación polinómica general de grado mayor a 4. Finalmente, se da una prueba algebraica del teorema fundamental del álgebra.

PREREQUISITOS

CÓDIGO NOMBRE
4100805 Grupos y Anillos

CONTENIDO

  • 1. Dominios de ideales principales y anillos de polinomios
    • 1.1. Solución de la cúbica y de la cuártica.
    • 1.2. Dominios de ideales principales.
    • 1.3. Anillos de Polinomios.
    • 1.4. Elementos primos e irreducibles.
    • 1.5. Criterio de Eisenstein.
    • 1.6. Dominio de factorización única..

  • 2. Teoría de Campos
    • 2.1. Extensiones algebraicas.
    • 2.2. Extensiones finitas.
    • 2.3. Construcciones con regla y compás.
    • 2.4. Construcción de la clausura algebraica.
    • 2.5. Automorfismos de campos..
    • 2.6. Extensión de Automorfismos.
    • 2.7. Extensiones separables y normales.
    • 2.8. Campos raíz, Característica prima y campos Finitos.

  • 3. Grupos solubles
    • 3.1. Series de Grupos. Teorema de Jordan-Holder.
    • 3.2. Grupos solubles y simples (repaso).

  • 4. Teoría de Galois
    • 4.1. Campos fijos y grupos de Galois..
    • 4.2. Grupo de Galois de un polinomio.
    • 4.3. Teorema fundamental de Galois.
    • 4.4. Solubilidad por radicales de ecuaciones polinómicas.

  • 5. Aplicaciones
    • 5.1. Ecuaciones de grado 3 y 4 (revisitadas).
    • 5.2. Ecuación general de grado > 4.
    • 5.3. Extensiones Ciclotómicas, polígonos construibles y Teorema de Gauss).