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Análisis Numérico

La matemática ha mostrado ser clave en el estudio de los fenómenos y procesos que ocurren en el mundo real. Sin embargo estos modelos matemáticos pueden llegar a ser tan complejos que solo con la ayuda del computador pueden ser resueltos. Para cumplir con este objetivo se deben proponer, desarrollar, analizar y aplicar métodos y algoritmos que solucionen de manera efectiva y confiable el correspondiente problema matemático; el cual puede provenir de diversas ramas de la matemática tales como el análisis, el algebra lineal, ecuaciones diferenciales, optimización, teoría de la aproximación, etc. Es precisamente en todo lo anterior de lo que se trata el análisis numérico. En este curso los problemas que enfrentaremos son: búsqueda de raíces de ecuaciones no lineales, aproximación de funciones por polinomios, cálculo de derivadas e integrales, resolveremos sistemas de ecuaciones lineales así como ecuaciones diferenciales ordinarias.


PREREQUISITOS

CÓDIGO NOMBRE
4100803 Introducción al Análisis Real

CONTENIDO

  • 1. Introducción
    • 1.1. Teorema de Taylor.
    • 1.2. Análisis de Error.
    • 1.3. Orden de convergencia, notación O y o.
    • 1.4. Conceptos de Estabilidad, condicionamiento.

  • 2. Ecuaciones no Lineales en una Variable
    • 2.1. Método de Bisección.
    • 2.2. Método de Newton.
    • 2.3. Iteraciones de punto fijo y Teorema de punto fijo de Banach.
    • 2.4. Determinación de ceros de polinomios: esquema de Horner, método de Muller, método de Bairstow.

  • 3. Algebra Lineal Numérica
    • 3.1. Eliminación de Gauss, Descomposicións LU y Cholesky. Estrategias de Pivoteo..
    • 3.2. Descomposición QR y rotaciones Givens.
    • 3.3. Teoria de perturbación: Normas vectoriales y Matriciales, Estimaciones a priori del error.
    • 3.4. Métodos iterativos para sistemas lineales: forma básica, convergencia, método de Jacobi, Gauss- Seidel, Sobrerrelajación..
    • 3.5. Otros tópicos de algebra lineal numérica.

  • 4. Interpolación de Funciones
    • 4.1. Interpolación polinómica.
    • 4.2. Diferencias Divididas.
    • 4.3. Interpolación de Hermite.
    • 4.4. Interpolación Spline.
    • 4.5. Concepto de mejor aproximación, Teoria de Chebyshev.

  • 5. Integración Numérica
    • 5.1. Fórmulas de Newton Cotes.
    • 5.2. Cuadratura de Gauss - Legendre.
    • 5.3. Extrapolación de Richardson e integración de Romberg.

  • 6. Introducción a Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
    • 6.1. Problemas de valores iniciales: Métodos de Serie de Taylor y Métodos Runge-Kutta para ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales..
    • 6.2. Métodos Multipaso.
    • 6.3. Problemas de valor en la frontera.
    • 6.4. Método de disparo y método de colocación.