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Sistemas Numéricos

Revisar y complementar los conocimientos de los conjuntos numéricos que el estudiante ha utilizado en sus estudios de educación media, desde los naturales hasta los complejos, resaltando las similitudes y especificidades de cada uno de ellos. Detectar estructuras algebraicas elementales. Abordar principios básicos de conteo. Estudiar los teoremas relacionados con la búsqueda de raíces de polinomios.

CONTENIDO

  • 1. Operaciones binarias.
    • 1.1. Operaciones binarias.
    • 1.2. Propiedades: asociatividad y conmutatividad.
    • 1.3. Existencia de elementos neutros e inversos laterales y bilaterales.
    • 1.4. Ejemplos en Zn y otros conjuntos finitos con operaciones usuales y no usuales.

  • 2. Números Naturales.
    • 2.1. Números naturales: Axiomas de Peano. Operaciones y propiedades.
    • 2.2. Divisibilidad y orden.
    • 2.3. Inducción, buen orden y recursión.
    • 2.4. Nociones básicas de conteo, permutaciones, combinaciones y teorema del binomio.

  • 3. Números Enteros.
    • 3.1. Construcción. Operaciones y sus propiedades.
    • 3.2. Divisibilidad. Primos y compuestos. Algoritmo de la división.
    • 3.3. Máximo Común Divisor y sus propiedades Mínimo Común Múltiplo.
    • 3.4. Algoritmo de Euclides. Congruencias.
    • 3.5. Teorema fundamental de la Aritmética y sus consecuencias. Orden.

  • 4. Números racionales y reales.
    • 4.1. Racionales: Expansión decimal. Operaciones y sus propiedades. Orden. Densidad. Propiedad Arquimediana.
    • 4.2. Reales: Expansión decimal. Operaciones y sus propiedades. Orden. Densidad. Propiedad Arquimediana. Axioma de completez. Algebraicos y trascendentes.

  • 5. Números Complejos.
    • 5.1. Números Complejos: definición, operaciones y sus propiedades.
    • 5.2. Conjugado. Forma trigonométrica. Representación geométrica.
    • 5.3. Teorema de Moivre. Raíces n-ésimas de números complejos.

  • 6. Polinomios.
    • 6.1. Polinomios en una variable: Operaciones. Algoritmo de la división.
    • 6.2. Teorema del residuo y teorema del factor. Factorización única. MCM y MCD.
    • 6.3. Raíces: Raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros. Teorema fundamental del álgebra. Factorización en los reales y en los complejos. Irreducibles y su caracterización. Fracciones simples, fracciones parciales.

BIBLIOGRAFIA

  • Allendoefer C.B y Oakley C.O Fundamentos de Matemáticas Universitarias., McGraw-Hill, tercera edición, 1982

  • Bloch E. R. Proofs and Fundamentals., Birkhauser, Boston, 2000

  • Jiménez L.R., Gordillo E., y Rubiano G.N. Teoría de números para principiantes., Universidad Nacional de Colombia. Cuarta edición, 2002

  • Sheinerman E.R Matemáticas Discretas., Thomson-Learning, 2004

  • Zalamea F. Fundamentos de Matemáticas., Universidad Nacional de Colombia, 2007