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Ecuaciones Diferenciales

Objetivos principales:
• Modelar por medio de ecuaciones diferenciales algunos sistemas simples y predecir su comportamiento.
• Comprender y utilizar las diferentes técnicas analíticas y cualitativas para resolver ecuaciones diferenciales.

CONTENIDO

  • 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
    • 1.1. Preliminares: orden, clasificación y soluciones de las ecuaciones diferenciales. Ejemplos de sistemas reales modelados por medio de ecuaciones diferenciales: variables independientes, variables dependientes y parámetros. Técnicas para analizar ecuaciones diferenciales (analíticas, cualitativas y numéricas).
    • 1.2. Técnicas analíticas: separación de variables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones exactas, factor integrante y ecuaciones lineales.
    • 1.3. Técnica cualitativa: campo de pendientes. Técnica numérica: método de Euler. Teorema de existencia y unicidad de las soluciones. Ecuaciones autónomas y soluciones de equilibrio. Línea de fase.
    • 1.4. Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden (trayectorias ortogonales, mezclas, enfriamiento y calentamiento de objetos, circuitos, movimientos en una dimensión con fricción y modelos de poblaciones).

  • 2. Ecuaciones de orden superior y sistemas
    • 2.1 Preliminares: ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas, problemas de valor inicial y de valor en la frontera. Teorema de existencia y unicidad. Independencia lineal. El Wronskiano. Reducción del orden para ecuaciones lineales de segundo orden. Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes.
    • 2.2.Ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes. Algunas aplicaciones de la ecuación ax’’+bx’+cx=f(t) (circuitos LRC, movimientos amortiguados forzados, resonancia).
    • 2.3.Sistemas de ecuaciones diferenciales. Ecuaciones lineales de orden superior como sistemas. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden. Teorema de existencia y unicidad. Geometría de los sistemas autónomos: el campo vectorial.
    • 2.4. Solución de un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes: la exponencial de una matriz. Valores propios reales diferentes, valores propios complejos. Valores propios repetidos. El plano traza-determinante para sistemas lineales.
    • 2.5.Solución particular para los sistemas no homogéneos: coeficientes indeterminados y variación de parámetros.
    • 2.6. Método de Euler para sistemas autónomos. Sistemas no lineales: linealización alrededor de puntos de equilibrio. Isoclinas (nulclinales) y análisis cualitativo.

  • 3. Transformada de Laplace
    • 3.1. Transformada de Laplace. Transformada inversa. Teoremas de traslación y derivadas de una transformada. Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas.
    • 3.2. Funciones delta y forzamiento de impulso. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y sistemas.

  • 4. Series de potencias
    • 4.1. Series de potencias. Ecuaciones lineales: puntos ordinarios y singulares. Soluciones con series de potencias en torno a puntos ordinarios.
    • 4.2. Soluciones en torno a puntos singulares regulares (teoría de Frobenius).
    • 4.3. Dos ejemplos: ecuaciones de Bessel y Legendre.

BIBLIOGRAFIA

  • Boyce, W.; Diprima, R Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera

  • Paul, Blanchard; Devaney, Robert and Hall, Glen Ecuaciones diferenciales, Thomson Editores, 1999

  • Zill, Dennis Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición, 1998