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ALGEBRA TENSORIAL

Este curso se presenta como una continuación natural del álgebra lineal. La construcción básica que se estudia es el producto tensorial de espacios vectoriales, y a partir de allí se presentan distintas construcciones, tales como el álgebra tensorial, el álgebra simétrica y el álgebra exterior de un espacio vectorial y se estudian varias propiedades de las mismas.

CONTENIDO

1. Repaso de espacios vectoriales.

1.1. Dual de un espacio vectorial
1.2. Transformaciones lineales
1.3. Transpuesta de una transformación linea
1.4. Representaciones matriciales

2. Funciones multilineales.

2.1. Producto tensorial de espacios vectoriales.
2.2. Producto tensorial de matrices.
2.3. Los isomorfismos entre los espacios (V^* pt W) con el espacio Hom(V,W) y el isomorfismo entre Hom(V pt W,U) con el espacio Hom(W,Hom(V,U)) donde pt representa el producto tensorial.

3. Álgebras y homomorfismos de álgebras.

3.1. Ideales y cocientes de álgebras
3.2. Álgebra tensorial de un espacio vectorial y su propiedad universal.
3.3. Álgebra tensorial de una suma directa de espacios vectoriales.
3.4. Álgebra simétrica de un espacio vectorial y propiedad universal.
3.5. Isomorfismo con el álgebra de polinomios.
3.6. Álgebra simétrica de una suma directa de espacios vectoriales.

4. Funciones multilineales alternantes.

4.1. Álgebra exterior de un espacio vectorial.
4.2. Álgebra exterior de una suma directa de espacios vectoriales.
4.3. Determinantes de un endomorfismo y de matrices.
4.4. Cálculo de determinantes.
4.5. Isomorfismo natural (A^k (V))^* con el espacio A^k (V^*) via el determinante, donde A^k representa las funciones k-lineales alternantes.