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Cálculo Diferencial

El objetivo de este curso es estudiar los conceptos de límite y derivada para funciones de una variable real y utilizar estas ideas en la solución de problemas de optimización, trazado de curvas y razones de cambio.

CONTENIDO

  • 1. Funciones y Modelos
    • 1.1. Cuatro maneras de representar una función, definición de función, dominio, rango, gráfica de una función, prueba de la recta vertical.
    • 1.2. Funciones definidas a tramos, valor absoluto, simetría, función par, impar, funciones crecientes, decrecientes. Catálogo de funciones básicas: función lineal.
    • 1.3. Catálogo de funciones básicas: polinomios (grado, raíces, función cuadrática, función cúbica), funciones de potencia, funciones racionales, funciones algebraicas y funciones trigonométricas.
    • 1.4. Transformaciones de funciones: desplazamientos verticales y horizontales, alargamientos verticales y horizontales.
    • 1.5. Álgebra de funciones, composición de funciones
    • 1.6. Funciones exponenciales: gráficas, leyes de los exponentes, modelación con funciones exponenciales, el número e.
    • 1.7. Función inversa: función uno a uno, prueba de la recta horizontal, definición de función inversa, gráfica de la función inversa.
    • 1.8. Funciones logarítmicas: definición, gráficas, leyes de los logaritmos, logaritmo natural, fórmula para el cambio de base, gráfica de la función logaritmo natural.
    • 1.9. Funciones trigonométricas inversas: función seno inverso, función tangente inversa, función coseno inverso.

  • 2. Límites y Derivadas
    • 2.1. Límite de una función: definición intuitiva, ejemplos gráficos, ejemplos con tablas de valores límites laterales, ejemplos gráficos.
    • 2.2. Cálculo de límites: reglas básicas para el cálculo de límites, límites de funciones definidas por tramos, teorema de compresión.
    • 2.3. Continuidad: definición, continuidad por la derecha y por la izquierda, teoremas básicos sobre funciones continuas, teorema de sustitución para el cálculo de límites de funciones compuestas, teorema de continuidad de funciones compuestas, teorema del valor intermedio.
    • 2.4. Límites que comprenden el infinito: límites infinitos y asíntotas verticales, límites en el infinito y asíntotas horizontales, límites infinitos en el infinito.
    • 2.5. Tangentes, velocidades y otras razones de cambio.
    • 2.6. Definición de derivada, interpretación de la derivada como la pendiente de una tangente, interpretación de la derivada como una razón de cambio.
    • 2.7. La derivada como una función, notaciones de la derivada, relación entre diferenciabilidad y continuidad, ¿Cómo deja de ser diferenciable una función? Derivadas superiores.
    • 2.8. ¿Qué dice f’ acerca de f? ¿Qué dice f’’ acerca de f?

  • 3. Reglas de Derivación.
    • 3.1. Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales. Las reglas del producto y del cociente.
    • 3.2. Derivación de funciones trigonométricas. La regla de la cadena.
    • 3.3. Derivación implícita. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Derivadas de funciones logarítmicas. Derivación logarítmica.

  • 4. Aplicaciones de la derivación.
    • 4.1. Razones de cambio de variables relacionadas.
    • 4.2. Valores máximo y mínimo absolutos de una función. Extremos relativos de una función. Teorema del valor extremo. Teorema de Fermat. Valores críticos de una función.
    • 4.3. Derivadas y las formas de las curvas: teorema del valor medio, prueba para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, prueba de la primera derivada para extremos relativos.
    • 4.4. Definición de concavidad y puntos de inflexión. Prueba de concavidad, prueba de la segunda derivada para extremos relativos.
    • 4.5. Ejemplos de trazado de gráficas. Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital.
    • 4.6. Problemas de optimización.
    • 4.7. Antiderivadas: definición, tabla de fórmulas de antiderivación, problemas de aplicación )

BIBLIOGRAFIA

  • J. Stewart CÁLCULO, Conceptos y contextos, Editorial Thomson, ediciones 2ª y 3ª

  • Smith, R.T., Minton, R.B. Cálculo, Tomo I, Mc Graw Hill, 2000

  • Finney, R. L Cálculo, Prentice Hall, 2000.

  • Hughes-Hallet, D., Gleason, A. M. Calculus, John Wiley y sons, 1994.

  • Thomas, G. B., Finney, R. L. Cálculo en una variable, Addison Wesley Longman, novena edición, 1998

  • Stein, Sh.K., Barcellos, A. Cálculo con Geometría Analítica, Prentice Hall Hispanoamericana, 1996.