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Fundamentos de Matemáticas

Esta asignatura tiene dos objetivos centrales: primero, que los estudiantes se familiaricen y manipulen apropiadamente los conjuntos, las relaciones (en particular, las relaciones de equivalencia y las de orden) y las funciones, y que sepan sus propiedades más importantes. En segundo lugar, este curso sirve como una introducción al arte de la demostración en matemáticas, ya que los estudiantes deben ser capaces de enunciar y demostrar las propiedades más relevantes de los objetos estudiados.


Ver videos del curso en el siguiente: ENLACE

CONTENIDO

  • 1. Fundamentos de Lógica
    • 1.1 La crisis de los fundamentos
    • 1.2 Cálculo proposicional-Primera parte (operadores lógicos, fórmulas bien formadas, tablas de verdad, tautologías, contradicciones, contingencias).
    • 1.3 Cálculo proposicional-Segunda parte (tautologías fundamentales).
    • 1.4 Sistemas formales.
    • 1.5 Teoremas y sus demostraciones (demostración directa, por la contrarrecíproca y por contradicción).

  • 2. Introducción a la teoría de conjuntos
    • 2.1 Conjuntos-Primera parte (axioma de extensión, axioma del conjunto vacío, axioma de separación, axioma del conjunto binario, axioma de la unión).
    • 2.2 Conjuntos-Segunda parte (unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica, propiedades fundamentales).
    • 2.3 Conjuntos-Tercera parte (complemento, axioma de partes, conjunto de partes).
    • 2.4 Elementos del cálculo de predicados
    • 2.5 Pares ordenados y producto cartesiano.
    • 2.6 Uniones e intersecciones generalizadas.
    • 2.7 Conjuntos-Familias indizadas.

  • 3. Relaciones
    • 3.1 Relaciones-Primera parte (conjunto de salida, conjunto de llegada, dominio, rango, unión).
    • 3.2 Relaciones-Segunda parte (composición e inversión, propiedades eventuales).
    • 3.3 Relaciones de equivalencia y particiones.
    • 3.4 Relaciones de orden-Primera parte (elementos distinguidos: máximo, mínimo, maximales, minimales, cotas superiores, cotas inferiores, sup e ínf).
    • 3.5 Relaciones de orden-Segunda parte (propiedades fundamentales del sup y del ínf). 4

  • 4. Funciones
    • 4.1 Funciones.
    • 4.2 Funciones-Inyectividad, sobreyectividad, boiyectividad.
    • 4.3 Funciones-Composición e inversión.
    • 4.4 Funciones-Imagen directa e imagen inversa.
    • 4.5 Productos generalizados.
    • 4.6 Operadores y relaciones de equivalencia.
    • 4.7 Equipotencia.

BIBLIOGRAFIA

  • Ethan Bloch. Proofs and Fundamentals, Birkhäuser, Boston, 2000.

  • Charles C. Pinter. Set Theory, Dover, New York, 2014.

  • José M. Muñoz. Introducción a la Teoría de Conjuntos, U.N. Sede Bogotá.